① 求兩圓公共弦，為什麼要用兩圓方程相減
兩個圓若是相交，則至多交於2點。減後的方程必定滿足X、Y（就是兩個交點），將兩圓的方程相減即是默認兩條方程中有共同的解X、Y。
換句話說，就是兩個交點所共同滿足的直線方程。我們知道，平面內2點間有且只有1條直線，那麼這條直線就是所求的公共弦。
證明：
圓C1：(x-a₁)²+(y-b₁)²=r₁²或x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0
圓C2：(x-a₂)²+(y-b₂)²=r₂²或x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0
則過兩圓交點的直線方程為：
(x-a₁)²+(y-b₁)²－(x-a₂)²－(y-b₂)²=r₁²－r₂²
或 (D₁－D₂)x+(E₁－E₂)y+F₁－F₂=0
這是「兩相交圓方程相減得公共弦方程」的變式
設兩圓分別為
x²+y²+c₁x+d₁y+e₁=0 ①
x²+y²+c₂x+d₂y+e₂=0 ②
兩式相減得
（x²+y²+c₁x+d₁y+e₁）-（x²+y²+c₂x+d₂y+e₂）=0 ③
這是一條直線的方程
（1）先證這條直線過兩圓交點
設交點為(x0,y0)則滿足①②
所以滿足③
所以交點在直線③上
（2）由於過兩交點的直線又且只有一條
所以得證
(1)公共弦擴展閱讀
弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦（chord）.在同一個圓內最長的弦是直徑。直徑所在的直線是圓的對稱軸，因此，圓的對稱軸有無數條。
圓的相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等）
證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
註：其逆定理可作為證明圓的內接四邊形的方法. P點若選在圓內任意一點中更具一般性。
② 求以相交兩圓 ： 及 ： 的公共弦為直徑的圓的方程
③ 兩個圓的公共弦直線方程是什麼
假設圓的方程
1）：x^2+y^2+ax+by+c=0
2）:x^2+y^2+dx+ey+f=0
1)-2)得到公共弦（交線）方程：
（a-d)x+(b-e)y+c-f=0
④ 拋物線與橢圓的公共弦指的是什麼
如果拋物線與橢圓相交，有兩個交點，
那麼這兩個交點連線所成線段就是它們的公共弦。
⑤ 圓的公共弦的性質
兩圓的公共弦，被兩圓心的連線垂直平分；如果兩圓圓心到公共弦距離相等，則兩圓半徑相等。
⑥ 兩圓相交時公共弦怎麼求
兩圓相交時公共弦怎麼求
一、圓及圓的相關量的定義（28個）
1.平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。
2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。
3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。
5.直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有2個公共點為相交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。
6.兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。 二、有關圓的字母表示方法（7個）
圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d
扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S 三、有關圓的基本性質與定理（27個）
1.點P與圓O的位置關系（設P是一點，則PO是點到圓心的距離）： P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r。
2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。
3.垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的弧。
4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。
5.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。
8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形3個頂點距離相等；內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。
9.直線AB與圓O的位置關系（設OP⊥AB於P，則PO是AB到圓心的距離）：
AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。
10.圓的切線垂直於過切點的直徑；經過直徑的一端，並且垂直於這條直徑的直線，是這個圓的切線。
11.圓與圓的位置關系（設兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P）：
外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內切P=R-r；內含P＜R-r。 四、有關圓的計算公式
1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=nπr2/360=rl/2 5.圓錐側面積S=πrl 五 圓的方程
1.圓的標准方程
在平面直角坐標系中,以點O(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的標准方程是
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
2.圓的一般方程
把圓的標准方程展開,移項,合並同類項後,可得圓的一般方程是
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
和標准方程對比,其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2
相關知識:圓的離心率e=0.在圓上任意一點的曲率半徑都是r. 六 圓與直線的位置關系判斷
平面內,直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是
討論如下2種情況:
(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等於0],
代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成為一個關於x的一元二次方程f(x)=0.
利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下:
如果b^2-4ac>0,則圓與直線有2交點,即圓與直線相交
如果b^2-4ac=0,則圓與直線有1交點,即圓與直線相切
如果b^2-4ac<0,則圓與直線有0交點,即圓與直線相離
(2)如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A.它平行於y軸(或垂直於x軸)
將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
令y=b,求出此時的兩個x值x1,x2,並且我們規定x1<x2
當x=-C/A<x1或x=-C/A>x2時,直線與圓相離
當x1<x=-C/A<x2時,直線與圓相交
當x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時,直線與圓相切
⑦ 求解怎樣求兩圓的公共弦所在直線方程
兩個圓的方程相減
就可以得到公共弦所在的直線方程
⑧ 圓 與 公共弦的長為
把圓與圓的方程相減可得圓與圓的公共弦所在直線方程,再求出圓心到直線的距離,由弦長公式求得弦長.
解:圓與圓的公共弦所在直線方程為:,即,圓心到直線的距離,所以所求弦長為 ,故答案為. 本題考查兩圓的公共弦方程的求法,點到直線的距離公式的應用,以及弦長公式的應用.
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