公共余數

㈠ 中國剩餘定理有一個關於3、5、7的為什麼除以三的余數乘70除以5的余數乘21除以7的余數乘15最後除以105

國剩餘定理
民間傳說著一則故事——「韓信點兵」。

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是「神仙下凡」、「神機妙算」。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來說：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數.

這樣的問題，也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」，這是由中國人首先提出的.

① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它們除以12的余數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它們除以12的余數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的余數是5.

如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5＋12×整數，

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2，除以4餘1」兩個條件合並成「除以12餘5」一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合並成一個.然後再與第三個條件合並，就可找到答案.

②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.

解：先列出除以3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合並成一個就是8＋15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合並成一個：被105除餘23.

那麼韓信點的兵在1000-1500之間，應該是105×10+23=1073人

㈡ 一個完全平方數除以1001所得的余數共有幾種可能

1001=7×11×13

(7P+K)² = 49P² + 14PK + K²
當K=0、1、2……、6時，K²被7除餘0、1、4、2、2、4、1，即版只有0、1、2、4這四種余數。權

(11P+K)² = 121P+22PK+K²
當K=0、1、2……、10時，K²被11除餘0、1、4、9、5、3、3、5、9、4、1，即只有0、1、3、4、5、9這六種余數。

(13P+K)² = 169P+26PK+K²
當K=0、1、2……、12時，K²被13除餘0、1、4、9、3、12、10、10、12、3、9、4、1，即只有0、1、3、4、9、10、12這七種余數。

綜上，所得余數共有4*6*7 = 168種可能。

上述余數寫成負數情況：
① 0、-3、-5、-6、-7、-10、-12、……
② 0、-2、-6、-7、-8、-10、-11、……
③0、-1、-3、-4、-9、-10、-12、
最前一項公共的是-10
因此有7*11*13-10 = 991
是完全平方數除以1001所得的余數中最大的情況。

㈢ 剩餘價值的定義什麼

「剩餘價值」概念是馬克思主義政治經濟學的核心概念，認為資本主義生產的實質就是剩餘價值的生產，剩餘價值規律是資本主義的基本經濟規律，它決定著資本主義的一切主要方面和矛盾發展的全部過程；決定著資本主義生產的高漲和危機；決定著資本主義的發展和滅亡。那麼，「剩餘價值」概念是否僅適用於資本主義社會，「剩餘價值」的准確含義又是什麼呢?下面對這些問題試作一下探討。
剩餘價值的准確含義

那麼，剩餘價值的准確含義究竟是什麼呢?仔細考察「剩餘價值」出現的各種場合，發現其含義並不統一，至少有兩種:第一種是從價值的創造者而言，「剩餘價值」是與「自用價值」相對的概念，指勞動者創造的超過自身及家庭需要的那部分價值；如勞動者創造的價值不夠或僅夠滿足自身及家庭的需要，沒有一點剩餘，那他便沒有創造剩餘價值。如工人創造的價值若還不抵其工資，他便沒有創造剩餘價值，只有創造的價值比工資多，他才創造了剩餘價值。馬克思說:剩餘價值是雇傭工人創造的被資本家無償佔有的超過勞動力價值的價值。這里的剩餘價值，即資本主義的剩餘價值，本質上也是勞動者創造的超過自身及家庭需要的那部分價值，因勞動力價值是由維持勞動力的生產和再生產所需要的生活資料的費用決定的，其中包括勞動者本人的培養、教育費用和維持其家庭成員生活的費用，而這恰恰就是勞動者創造的價值中超過自身及家庭需要的部分——自用價值。故對剩餘價值的新舊兩種解釋在本質上是一致的，區別僅在於:舊解釋是剩餘價值之特殊，無普遍適用性，僅可解釋資本主義的剩餘價值；而新解釋則為剩餘價值之一般，具有普遍適用性，可解釋一切與自用價值相對的剩餘價值。剩餘價值還有第二種含義，是從價值的載體而言，是與「已用價值」相對的概念，指物品經利用後所剩的價值。這種含義不如第一種含義常見，但在電視、報刊、書籍及日常生活中也時有出現。如2000年12月12日早上8時之前，中央電視一台的「東方時空」節目曾報道有人回收「電子垃圾」再利用而取得了良好效果，尤其是印度一男子竟用此而組裝成一輛摩托車，言此為利用垃圾的「剩餘價值」，這里的「剩餘價值」顯然並非指勞動者創造的超過自身及家庭需要的那部分價值，而是指物品經利用後所剩的價值。我們有時會聽到有人把廢水的再利用稱為利用水的剩餘價值，把廢料、廢物的回收利用稱為利用物品的剩餘價值，此「剩餘價值」也是指物品經利用後所剩的價值。
「剩餘價值」的這兩種含義，一個是言人所創造的價值狀況，另一個則是言物品本身的價值狀況，名同而實異，但根據其出現的場合，聯繫上下文，很容易判別其所指何義。因第一種含義很常見，第二種含義較少見，故本文主要以第一種含義為依據對剩餘價值展開論述。由此而觀其適用范圍，便可看出:剩餘價值的生產並非僅存在於資本主義社會，在原始社會末期以後的各個歷史發展階段都一直存在。原始社會前期，生產力水平非常低下，勞動者創造的價值尚不能滿足自身及家庭的需要，人在很多時候處於忍飢挨餓的境地，故難以創造剩餘價值。原始社會末期，由於生產力的發展，勞動者創造的價值除滿足自身及家庭需要外，尚有少量剩餘，故能生產少量剩餘價值。剩餘價值的產生對社會發展產生了巨大影響，最明顯的便是戰爭得勝者不再將戰俘殺掉，而是將其用作奴隸為自己生產剩餘價值。封建社會，剩餘價值的生產廣泛存在，地主收的地租及國家收的各種捐稅，皆來源於農民及其他勞動者創造的剩餘價值。資本主義的生產，眾所周知，其實質就是剩餘價值的生產。資本主義企業的利潤及國家的財政收人皆來源於工人及其他勞動者創造的剩餘價值。社會主義社會，上文已有論述，廣泛存在剩餘價值的生產，而且在未來的共產主義社會，將更加離不開剩餘價值的生產，因那時會出現更多的職業種類，社會分工將更加細密，更多的人將離開物質生產部門而從事文教、衛生、公共服務等工作，如物質生產部門的勞動者不能創造更多的剩餘價值，那麼許多社會必須的非物質生產性的工作將無法開展，整個社會機器將停止運轉。
綜上所述，通過對馬克思主義政治經濟學「剩餘價值」概念的准確解釋，便可使這一概念的理論價值大大提高，不僅適用於資本主義社會，而且適用於其他社會，不僅可解釋、解決經濟問題，而且可解釋、解決人生、社會等一系列問題，而使馬克思主義的剩餘價值學說更加完善，大大增強馬克思主義的生命力

㈣ 韓信點兵原理中如果余數不同應怎麼計算

中國剩餘定理

民間傳說著一則故事——「韓信點兵」。

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是「神仙下凡」、「神機妙算」。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（註：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來說：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數.

這樣的問題，也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」，這是由中國人首先提出的.

① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它們除以12的余數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它們除以12的余數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的余數是5.

如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5＋12×整數，

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2，除以4餘1」兩個條件合並成「除以12餘5」一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合並成一個.然後再與第三個條件合並，就可找到答案.

②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.

解：先列出除以3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合並成一個就是8＋15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合並成一個：被105除餘23.

那麼韓信點的兵在1000-1500之間，應該是105×10+23=1073人

中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」

答曰：「二十三」

術曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。」

孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。

韓信被貶淮陰侯時高祖找他聊天 高祖說：韓信你說寡人我能帶多少兵。 韓信說：10萬絕對不能超過10萬。高祖又說：你呢。韓信說：韓信點兵 多多益善. 高祖說：那你不是比我還厲害嗎，那你為什麼會被寡人抓到呢。韓信說：皇上您是將之將 我是兵之將 當然不如陛下您。

㈤ 什麼叫做剩餘價值。

剩餘價復值論的地位及製作用：
1、衡量社會生產力水平的標尺
勞動者創造的剩餘價值的多少是衡量社會生產力水平高低的重要標尺。勞動者創造的剩餘價值的多少與社會生產力水平的高低成正比。社會生產力水平越低，勞動者創造的剩餘價值便越少
2、衡量人生價值的標尺
人的貢獻大、影響顯，則人生價值便大，卻是人人都同意的觀點。而人為社會創造的剩餘價值越多，則貢獻便越大，影響便越顯著，故人生價值便也越大；相反，如人為社會創造的剩餘價值越少，則貢獻便越小，影響便越輕微，故人生價值也越小，如不能為社會創造任何剩餘價值，則人生便毫無價值。
3、衡量國家財力的標尺
勞動者為社會創造的剩餘價值總量是衡量國家財力強弱的重要標尺。衡量國家財力(注意：這里指國家財力，而非指綜合國力)的強弱，往往是用國民生產總值或人均國民收人來衡量，這遠不如用勞動者為社會創造的剩餘價值總量衡量准確。

㈥ 余數的數學術語

1.指整數除法中被除數未被除盡部分，且余數的取值范圍為0到除數之間（不包括除數）的整數。
例如27除以6，商數為4，余數為3。
2.一個數除以另一個數，要是比另一個數小的話，商為0，余數就是它自己.。
例如:1除以2，商數為0，余數為1。2除以3，商數為0，余數為2。 在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數，所以余數問題在小學數學中非常重要。
取余數運算：
a mod b = c 表示 整數a除以整數b所得余數為c。
如 7 mod 3 = 1 余數有如下一些重要性質（a，b，c均為自然數）：
（1）余數和除數的差的絕對值要小於除數的絕對值（適用於實數域）；
（2）被除數=除數×商+余數；
除數=（被除數-余數）÷商；
商=（被除數-余數）÷除數；
余數=被除數-除數×商。
（3）如果a，b除以c的余數相同，那麼a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的余數都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a與b的和除以c的余數（a、b兩數除以c在沒有餘數的情況下除外），等於a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23+16）除以5的余數等於3+1=4。注意：當余數之和大於除數時，所求余數等於余數之和再除以c的余數。例如，23，19除以5的余數分別是3和4，所以（23+19）除以5的余數等於（3+4）除以5的余數。
（5）a與b的乘積除以c的余數，等於a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數等於3×1=3。注意：當余數之積大於除數時，所求余數等於余數之積再除以c的余數。例如，23，19除以5的余數分別是3和4，所以（23×19）除以5的余數等於（3×4）除以5的余數。
性質（4）（5）都可以推廣到多個自然數的情形。 例1 5120除以一個兩位數得到的余數是64，求這個兩位數。
分析與解：
由性質（2）知，除數×商=被除數-余數。
5120-64=5056，
5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到
5056=64×79。
由性質（1）知，除數應大於64，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，
符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。
例2 被除數、除數、商與余數之和是2143，已知商是33，余數是52，求被除數和除數。
解：因為被除數=除數×商+余數=除數×33+52，
被除數=2143-除數-商-余數=2143-除數-33-52=2058-除數，
所以 除數×33+52=2058-除數，所以 除數=（2058-52）÷34=59，
被除數=2058-59=1999。
答：被除數是1999，除數是59。
例3 甲、乙兩數的和是1088，甲數除以乙數商11餘32，求甲、乙兩數。
解：因為 甲=乙×11+32，
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以 乙=（1088-32）÷12=88，
甲=1088-乙=1000。
答：甲數是1000，乙數是88。
例4 有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個余數之和是50。求這個數。
分析與解：先由題目條件，求出這個數的大致范圍。因為50÷3=16……2，所以三個余數中至少有一個大於16，推知除數大於16。由三個余數之和是50知，除數不應大於70，所以除數在17～70之間。
由題意知（70+110+160）-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。
因為110÷58=1……52>50，所以58不合題意。所求整數是29。
例5 求478×296×351除以17的余數。
分析與解：先求出乘積再求余數，計算量較大。根據性質（5），可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數。
478，296，351除以17的余數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
所求余數是1。
例6 甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干輛車後，甲代表團餘下的11人與乙代表團餘下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那麼拍完最後一張照片後，相機里的膠卷還可拍幾張照片？
分析與解：甲代表團坐滿若干輛車後餘11人，說明甲代表團的人數（簡稱甲數）除以36餘11；兩代表團餘下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團餘36-11=25（人），即乙代表團的人數（簡稱乙數）除以36餘25；甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片，共要拍「甲數×乙數」張照片，因為每個膠卷拍36張，所以最後一個膠卷拍的張數，等於「甲數×乙數」除以36的余數。
因為甲數除以36餘11，乙數除以36餘25，所以「甲數×乙數」除以36的余數等於11×25除以36的余數。
（11×25）÷36=7……23，
即最後一個膠卷拍了23張，還可拍36-23=13（張）。
由例6看出，將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題，有助於我們思考解題。
例7 5397被一個質數除，所得余數是15.求這個質數.
解：這個質數能整除
5397-15=5382，
而 5382=2×31997×13×23.
因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.
當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到余數。
例8 求 645763除以7的余數。
解：可以先去掉 7的倍數630000餘15763，再去掉14000還餘下 1763，再去掉1400餘下363，再去掉350餘13，最後得出余數是6.這個過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶余除法可以得出下面很有用的結論：
如果兩個數被同一個除數除余數相同，那麼這兩個數之差就能被那個除數整除。
例9 有一個大於 1的整數，它除967，1000，2001得到相同的余數，那麼這個整數是多少？
解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967=33=3×11，
2001-1000=1001=7×11×13，
2001-967=1034=2×11×47.
這個整數是這三個差的公約數11.
請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了。因為另一個差總可以由這兩個差得到。
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那麼差
2001-967=（2001-1000）+（1000-967）
=1001+33
=1034
從帶余除式，還可以得出下面結論：
甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那麼甲、乙兩數之和被這個除數除，它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數。
例如，57被13除餘5，152被13除餘9，那麼57+152=209被13除，余數是5+9=14被 13除的余數1.
例10 有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的余數是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的余數有什麼規律，但這樣做太麻煩。根據上面說到的結論，可以採取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的余數相加，然後除以3，就得到這個數被3除的余數，這樣就很容易算出前十個數被3除的余數，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同。因此這一串數被3除的余數，每八個循環一次，因為
1998= 8×249+ 6，
所以，第1998個數被3除的余數，應與第六個數被3除的余數一樣，也就是2.
一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鍾點是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
這十二個數構成一個循環。
按照七天一輪計算天數是
日，一，二，三，四，五，六.這也是一個循環，相當於一些連續自然數被7除的余數
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循環，用循環制計算時間：鍾表、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事。
循環現象，我們還稱作具有「周期性」，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例 10中余數的周期是8。研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事。
下面我們再舉出兩個余數出現循環現象的例子。在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結論：
甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個余數.那麼甲、乙兩數的積被這個除數除，它的余數就是兩個余數的積，被這個除數除所得的余數.
例如，37被11除餘4，27被11除餘5，37×27=999被 11除的余數是 4×5=20被 11 除後的余數 9。
1997=7×285+2，就知道1997×1997被7除的余數是2×2=4.
例 11 191997被7除余幾？
解：從上面的結論知道，191997被7除的余數與21997被7除的余數相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數.
先寫出一列數
2，2×2=4，2×2×2 =8，
2×2×2×2=16，…
然後逐個用7去除，列一張表，看看有什麼規律。列表如下：
事實上，只要用前一個數被7除的余數，乘以2，再被7除，就可以得到後一個數被7除的余數.（為什麼？請想一想.）
從表中可以看出，第四個數與第一個數的余數相同，都是2.根據上面對余數的計算，就知道，第五個數與第二個數余數相同，……因此，余數是每隔3個數循環一輪。循環的周期是3。
1997=3×665 +2
就知道21997被7除的余數，與21997 被 7除的余數相同，這個余數是4。
再看一個稍復雜的例子。
例12 70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等於它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的：
0，1，3，8，21，55，…
問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾？
解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等於前一個數的3倍減去再前一個數：
3=1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
……
不過，真的要一個一個地算下去，然後逐個被6去除，那就太麻煩了。能否從前面的余數，算出後面的余數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什麼？），從第三個數起，余數的計算辦法如下：
將前一個數的余數乘3，減去再前一個數的余數，然後被6除，所得余數即是
用這個辦法，可以逐個算出余數，列表如下：
注意，在算第八個數的余數時，要出現0×3-1這在小學數學范圍不允許，因為我們求被6除的余數，所以我們可以 0×3加6再來減 1
從表中可以看出，第十三、第十四個數的余數，與第一、第二個數的余數對應相同，就知道余數的循環周期是 12
70 =12×5+10
因此，第七十個數被6除的余數，與第十個數的余數相同，也就是4。
在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：
「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來說：
一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數。
這樣的問題，也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」，這是由中國人提出的。許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的。這里，我們通過兩個例題，對較小的數，介紹一種通俗解法。
例13 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？
解：除以3餘2 的數有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…
它們除以12的余數是：
2，5，8，11，2，5，8，11，…
除以4餘1的數有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…
它們除以12的余數是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，…
一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的余數是5
上面解法中，我們逐個列出被3除餘2的整數，又逐個列出被4除餘1的整數，然後逐個考慮被12除的余數，找出兩者共同的余數，就是被12除的余數.這樣的列舉的辦法，在考慮的數不大時，是很有用的，也是同學們最容易接受的。
如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是
5+ 12×整數
整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上 12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2，除以4餘1」兩個條件合並成「除以12餘5」一個條件。《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合並成一個.然後再與第三個條件合並，就可找到答案.
例14 一個數除以 3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.
解：先列出除以 3餘2的數：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
再列出除以5餘3的數：
3， 8， 13， 18， 23， 28，….
這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合並成一個就是
8+15×整數，
列出這一串數是
8， 23， 38，…，
再列出除以7餘2的數
2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合題目條件的最小數是23.
事實上，我們已把題目中三個條件合並成一個：被105除餘23.
最後再看一個例子.
例15 在100 至200之間，有三個連續的自然數，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續自然數.
解：先找出兩個連續自然數，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除餘1）.例如，找出9和10，下一個連續的自然數是11.
3和5的最小公倍數是15，考慮11加15的整數倍，使加得的數能被7整除.11+15×3=56能被7整除，那麼54，55，56這三個連續自然數，依次分別能被3，5，7整除.
為了滿足「在100至200之間」將54，55，56分別加上3，5，7的最小公倍數105.所求三數是
159， 160， 161.

㈦ 中國剩餘定理是什麼

中國剩餘定理

民間傳說著一則故事——「韓信點兵」。

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是「神仙下凡」、「神機妙算」。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（註：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來說：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數.

這樣的問題，也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」，這是由中國人首先提出的.

① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它們除以12的余數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它們除以12的余數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的余數是5.

如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5＋12×整數，

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2，除以4餘1」兩個條件合並成「除以12餘5」一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合並成一個.然後再與第三個條件合並，就可找到答案.

②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.

解：先列出除以3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合並成一個就是8＋15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合並成一個：被105除餘23.

那麼韓信點的兵在1000-1500之間，應該是105×10+23=1073人

中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」

答曰：「二十三」

術曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。」

孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。
簡單扼要總結:
1.算兩兩數之間的能整除數
2.算三個數的能整除數
3.用1中的三個整除數之和減去2中的整除數之差(有時候是倍數)

㈧ 什麼叫中國剩餘定理

如果正整數m1、m2、……、mk兩兩互質，那麼同餘方程組
x≡a,(mod
mi),
i=1,2,……k
有無窮多解。
且這些解關於模
M=m1,m2,……，mk同餘，可表成
x≡a1,M'1M1+a2M'2M2+……+akM'KMK(mod
M).
其中Mk=M/m,而M'k是滿足M'kMk=1(mod
mk)的正整數。這一演算法後來傳入西方，被稱為中國剩餘定理。
註：互質，也稱互素。即兩個數的最大公約數(最大公共因數，great
common
divisor)為1,
記號：gcd(a,b)=1.
名題：
三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。
即：
1、將軍點兵，三三數餘2，五五數餘3，七七數餘2。問兵幾何？
2、今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?——《孫子算經》
由於孫子算經成書較早，並且較早地介紹了這樣的問題，故中國剩餘定理的眾多異名中，一個著名的另名是：孫子定理。
寫成數論記號：同餘號≡以下簡記為==
x==2
mod
3
==3
mod
5
==2
mod
7
這在數論中稱為同餘方程組，簡稱同餘式組。
中國剩餘定理就是求解同餘式組的手段之一(注意，並不是唯一方法)。它的思想是這樣的：
求出
x1==1
mod
3
==0
mod
5
==0
mod
7
x2==0
mod
3
==1
mod
5
==0
mod
7
x3==0
mod
3
==0
mod
5
==1
mod
7
那麼2x1+3x2+2x3即為所求解x。
如果用向量記法，就更容易理解：
原題：x==(2,3,2)
mod
(3,5,7)
孫子定理：x1==(1,0,0);x2==(0,1,0);x3=(0,0,1)
x==2x1+3x2+2x3.
在求解x1時，顯然x1==(0,0)mod
(5,7),即x1被5，7整除。從而可設x1=5*7*k1==1
mod
3.
這里k1就是人們所說的乘率，古人求k1常用的就是大衍求一術。
這種方法實際上就是分化了維度，通過單位向量簡化問題。近世代數的許多觀點與方法，與這不謀而合，實際是受了中國剩餘定理的啟發。還有拉格朗日插值法，也與此一致。
同時我們還可以看到，x==(2,3,2)
mod
(3,5,7)
還可以等效於x==(2,2,2)+(0,1,0)，這樣無疑是對上述演算法的一種改進。正如牛頓插值法相對於拉格朗晶插值的改進。
以上內容，來自wsktuuytyh
(用戶名來源於姓名的五筆編碼：wsk
何
tuu
冬
ytyh
州)的網路答題與博文。歡迎引用。歡迎交流。

㈨ 什麼是「中國剩餘定理」

中國剩餘定理

民間傳說著一則故事——「韓信點兵」。

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是「神仙下凡」、「神機妙算」。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（註：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來說：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數.

這樣的問題，也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」，這是由中國人首先提出的.

① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它們除以12的余數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它們除以12的余數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的余數是5.

如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5＋12×整數，

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2，除以4餘1」兩個條件合並成「除以12餘5」一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合並成一個.然後再與第三個條件合並，就可找到答案.

②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.

解：先列出除以3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合並成一個就是8＋15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合並成一個：被105除餘23.

那麼韓信點的兵在1000-1500之間，應該是105×10+23=1073人

中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」

答曰：「二十三」

術曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。」

孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。

簡單扼要總結:
1.算兩兩數之間的能整除數
2.算三個數的能整除數
3.用1中的三個整除數之和減去2中的整除數之差(有時候是倍數)
4計算結果即可

韓信帶1500名兵士打仗，戰死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韓信馬上說出人數：1049
如多一人，即可湊整。倖存人數應在1000~1100人之間，即得出：
3乘5乘7乘10減1=1049（人）