數學史公共課

① 非歐幾何的產生與發展

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非歐幾何發展簡史及其啟示

幾何學的發源可以追溯的古埃及，幾何學的本意是測量的意思，它是古埃及人
進行土
地測量時的各種經驗成果的總結。「據希臘歷史學家Herodotus說，埃及是因為尼羅河每
年
漲水後需要重定農民土地的邊界才產生幾何的。」 古希臘人繼承和發展了古埃及的幾何
學
，愛奧尼亞學派的領袖和創立人泰勒斯（Thales）和他的學生畢達哥拉斯（Pythagoras
）
等著名的哲學家和數學家用演繹法將古埃及的「試驗幾何學」改造為「推理幾何學」，
晚期的
畢達哥拉斯學派（公元前400年左右）已要求數學結果應當根據明白規定的公理用演繹法
推出。歐幾里得（Euclid BC330-BC275）集幾何學之大成，將前人分散的幾何學成果概
括總結加以系統化，寫成了《幾何原本》這部影響歷史的著作。《幾何原本》共十三卷
，
其中五卷為平面幾何，五卷為立體幾何，三卷為數和比例。歐幾里得幾何學是科學史上
第
一個公理化演繹系統，歐幾里得從二十三個名詞定義、五條公理（一切科學所共有的真
理
）、五條公設（只是為某一門科學所接受的第一性原理），共推導出467條定理。《幾何
原本》雖然是前人成果的概括總結，「但整部書的陳述方式——一開頭就擺出所有的公
理，
明確提出所有的定義，和有條不紊的一系列定理——這是歐幾里得所獨創的，此外，定
理
的幾何原本》的證明有一些遺漏和錯誤，並且在論證過程中引入了很多沒有提出的假定
，
這些假定是因為在圖形上看或直觀上顯然的事實而無意中用上去的。另外，歐幾里得時
代
並不十分看重演繹推理，「事實上，希臘人對於從簡單演繹法得出的命題是不很看得起
的。
希臘人把那些能從定理直接推出的結果稱作系或衍論。Proclus把這種無需非多大力氣得
出
的結果陳作橫財或紅利。」

《幾何原本》中的公設五是歐幾里得自己提出的，它的內容是「若一直線與兩直線相
交
，且若同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。」
（If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles
onthe same side less than two right angles, the two straight lines, if
procedindefinitely, meet on that side
on which the angles are less than the two right angles. ） 這一公設引起了廣泛
的討論，
因為它不如其他公理、公設那樣簡明，歐幾里得本人也不滿意這條公設，他在證完了所
有
不需要平行公設的定理後才使用它。兩千多年來數學家們始終對這條公設耿耿於懷，孜
孜
不倦的試圖解決這個問題，數學家們主要沿兩條研究途徑前進：一條途徑是尋找一條更
為
自明的命題代替平行公設；另一條途徑是試圖從其他九條公理、公設推導出平行公設來
。
但十八世紀以前的兩千一百年的歷史中，平行公設的研究似乎沒有什麼進展，以至於一
些
數學家很沮喪，「尋求另一個可接受的公理一替代Euclid公理，或者證明Euclid斷言必
然是
一個定理，做這種工作的人是如此之多，又是如此徒勞無功，使得1759年d`Alembert把
平
行公理問題稱之為『幾何原理中的家醜』」。

沿第一條途徑找到的第五公設最簡單的表述是1795年普雷菲爾（Joseph
Fenn 1748-
1819）給出的：「通過不再直線L上的一給定點P,在P與L的平面上，只有一條直線不與L
相
交。」我們今天中學課本里使用的公理「過直線外一點，有且只有一條直線與原直線平
行」
就來源於此。

沿第二條途徑，數學家嘗試用直接法和間接法兩種方法來證明第五公設。1733
年，意
大利數學家薩克里（Gerolamo Saccheri 1667-1733）出版了《歐幾里得無懈可擊》（E
uclid
ab Omni Naevo Vindicatus）一書，提出用歸謬法證明第五公設，薩克里從四邊形ABCD
開
始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易證明角C等於角D。這樣第五公設便等價於角
C和角D是直角這個論斷。薩克里提出兩個假設：
1、 鈍角假設：角C和角D都是鈍角。
2、 銳角假設：角C和角D都是銳角。

薩克里自認為這兩個假設並用其他九條公里、公設可以導出矛盾，於是就證明
了第五
公設。實際上薩克里的證明過於冗長，不自覺的引入了與第五公設等價的其他假設；或
得
出的結論只是與經驗不符，並未得出矛盾。但薩克里的研究為後人提供了幫助，其後J.
蘭
伯特（Lambert）、F.K.施魏卡特(Schweikart)和F.A.托里努斯(Taurinus)等人得出結論
，第
五公設不能證明，即它與其他九條公理、公設相互獨立；並且注意到，球面上的幾何具
有
以鈍角假設為基礎的幾何性質，虛半徑球面具有以銳角假設為基礎的幾何性質。這種結
論
已非常接近非歐幾何了。

在前人的基礎上，高斯（Gauss 1777-1855）、鮑耶（Bolyai 1802-1860）、羅
巴切
夫斯基（Lobatchevsky 1793-1856）三人都獨立地發現了非歐幾何（雙曲線幾何學），
後
兩人被認為是非歐幾何的創建者，他們都公開發表了自己的論文，而高斯並沒有寫出過
完
整的推導。由於羅巴切夫斯基一生都為使非歐幾何得到承認而努力，為了紀念羅巴切夫
斯
基對發展幾何學所做出的貢獻，這種非歐幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何學。1854年，
G.F.B.黎曼又建立了另一種形式的非歐幾何，即黎曼幾何。今天學習非歐幾何並不特別
困
難，由於第五公設是獨立的，因此選取與第五公設相矛盾的公理可以建立邏輯上相容的
幾
何，這種幾何就是非歐幾何。它有兩種形式，如果用「過直線外一點至少可以引兩條直
線平
行於已知直線」這個命題代替第五公設，就可得到羅巴切夫斯基幾何，即雙曲幾何；如
果用
「過直線外一點不存在平行於已知直線的直線」這個命題代替第五公設，就可得到黎曼
幾何，
即橢圓幾何。

從歐幾里得幾何學到非歐幾何學經歷了兩千多年的歷史，人類也從古代進入了
近現代
，這里有一個非常有趣的問題：如果歐幾里得復活，他能理解非歐幾何嗎？我們可以注
意
到歐幾里得幾何學是從經驗上升的理論的，是從現實原型中抽象出來的，從測量土地到
比
較成熟的歐幾里得幾何學，這一過程經歷了比從歐幾里得幾何學到非歐幾何學還要長的
歷
史（古埃及在公元前3000年左右就產生了數學，現存的最早的古埃及數學文件是公元前1
7
00左右的草片文書）。今天似乎有一種意見，數學僅僅是一種符號的演算，其中並沒有
物
理的意義，但是，非歐幾何的發展史卻告訴我們，非歐幾何之所以誕生，是因為數學家
在
尋找幾何公理的物理意義中產生的，「對於這個公理的考慮是基於這樣的事實，即它作
為
一個公理，應該是不證自明的真理，因為幾何公理是我們關於物質空間的基本事實而且
數
學的和物理學的廣大分支都使用歐幾里得幾何的性質，數學家都想確知他們依賴於真理
。
換言之，平行公理的問題不僅是真正的物理問題，而且是所有能有的基本的物理問題。
」從
這個意義上說，從埃及到歐幾里的幾何學，再到非歐幾何學，其本質並未改變。

② 成人高考高升專都考哪幾科

成人高考高升專考試科目為語文、數學（分文理）、外語。

高起本、高起專專考試按文科屬、理科分別設置統考科目，外語分英語、俄語、日語三個語種，由考生根據招生專業目錄中明確的語種要求進行選擇。

報考高起本的考生，除參加三門統考公共課的考試外，還需參加專業基礎課的考試，文科類專業基礎課為「歷史、地理綜合」（簡稱史地），理科類專業基礎課為「物理、化學綜合」（簡稱理化）。

試題均由教育部統一命制，每門滿分150分，各科命題范圍不超出《全國成人高等學校招生復習考試大綱》。

(2)數學史公共課擴展閱讀：

成人高考學歷屬於國家承認

國家承認的學歷具備以下基本條件可通過學信網查詢：經過高校招生考試並被高校錄取的,持有普通高校畢業證書; 經過成人高校招生考試並被錄取的,持有成人高校畢業證書。自學考試的畢業證書，高等教育學歷文憑考試畢業證書。

部隊院校畢業證書應是總參和國家教育部聯合頒發的畢業證書。黨校畢業證書應是教育部頒發的成人高校畢業證書， 其它經過教育部批準的屬於國民教育系列的高等教育形式，如網路大學、開放大學、注冊視聽生等 。